Астрономические и математические основы солнечных календарей и их точность. (Firefox 19, ...)

Само собой разумеется, что в основе любой календарной системы лежат астрономические явления: смена дня и ночи, изменения лунных фаз и смена времен года. Эти астрономические явления дают три основные единицы измерения времени для всех календарных систем, а именно: солнечные сутки, лунный месяц и солнечный год. На протяжении всей истории человечества, и астрономии в частности, продолжительность этих основных единиц измерения времени постоянно уточнялось. Ученые древнего мира и ученые наших дней всегда стремились согласовать между собой сутки, месяц и год. Это их стремление привело к тому, что в разные эпохи были созданы три рода календарей:

1. 1)Солнечные, основаны на движении Земли вокруг Солнца и движении Солнца по эклиптике. Основная цель этих календарей состояло в согласовании между собой суток и года.  

2. 2)Лунные. Все они основаны на движении Луны вокруг Земли. Цель таких календарей состояла в согласовании суток и лунного месяца.  

3. 3)Лунно-солнечные. Цель: согласование между собой всех трех единиц измерения времени: солнечных суток и года с лунным месяцем. 

В настоящее время почти все страны мира пользуются солнечным григорианским календарем. Лунный календарь сохранился сегодня в некоторых восточных странах, народы которых исповедуют мусульманскую религию ислам. А когда-то в древности лунный календарь играл большую роль почти во всех религиях и использовался многими народами.

Третий вид календарей – лунно-солнечный до сих пор используется в иудейской религии для расчета религиозных еврейских праздников и еврейской Пасхи. В Израильском государстве наряду с солнечным григорианским календарем используется и лунно-солнечный, но он отличается особой сложностью для достижения совпадения первого числа каждого месяца с новолунием.

Итак вернемся к определению основных единиц измерения времени.

Солнечные сутки – это период обращения Земли вокруг своей оси относительно Солнца, равный 24 часам. Астрономы пользуются также звездными сутками, то есть периодом обращения Земли вокруг своей оси относительно звезд. (24 часа среднего солнечного времени равны 24 часам 3 минутам 56,555 секундам звездного времени).

Лунный или синодический месяц. Синодический от греческого слова (synodos), что значит – соединение. В астрономии под ним понимается видимое расположение небесного тела относительно Солнца. Так вот синодический месяц применяется для составления лунных календарей и равен промежутку времени между двумя последовательными одинаковыми конфигурациями (фазами) Луны. Средняя продолжительность синодического месяца принята равной 29,530588 средних солнечных суток, или 29 суткам 12 часам 44 минутам 2,8 секунды среднего солнечного времени.

Солнечный год – промежуток времени приблизительно равный периоду обращения Земли вокруг Солнца. В солнечных календарных системах продолжительность года соразмерна с продолжительностью тропического года, который и положен в их основу и равен промежутку времени между двумя последовательными прохождениями центра истинного Солнца через среднюю точку весеннего равноденствия, то есть другими словами, это время затрачиваемое Солнцем на путь от одного весеннего равноденствия до другого. Однако раз и навсегда точно вычислить продолжительность тропического года не представляется возможным из-за его медленного изменения, а именно уменьшения, примерно, на 0,5 секунды за каждое столетие.

На XI Генеральной конференции по мерам и весам, состоявшийся в Париже в октябре 1960 года была установлена и длина тропического года для начала 1900 года в 365,24219878 средних солнечных суток.

Однако тщательные измерения длины тропического года в последние десятилетия с использованием новейших методик и технологий, а также наиточнейших современных атомных часов показали, что длина тропического года в действительности изменяется значительно быстрее, чем указывалось выше. Время обращения Земли вокруг Солнца уменьшается не на 0,5 секунды за 100 лет, а, примерно на 1 секунду за 15 лет. И вот летом 1997 года ученые договорились принять эту величину за расчетную на ближайшие десятилетия, то есть что каждые 15 лет длина тропического года будет уменьшаться на 1 секунду. Ученые не стали ждать, и правильно сделали, пока накопится ошибка в одни сутки, а она накопится за 1 миллион 296 тысяч лет из расчета: 1 секунда – за 15 лет, а 1 сутки – за Х лет.

$X=\frac{\text{15}\text{лет}\times 1\text{сутки}}{1\text{сек}}=\frac{\text{15}\times \text{86400}\text{сек}}{1\text{сек}}=\text{1296000}\text{лет}$

 

Надо иметь в виду, что в астрономии существуют некоторые другие способы вычисления продолжительности земного года. Для общего кругозора почти все из них приводятся ниже. Однако, для расчета солнечных календарей, как говорится «своя рубашка ближе к телу», во всем мире берется только тропический год, то есть мы сверяем свое время пока только по Солнцу.

1. 1)Тропический год – время от одного весеннего равноденствия до другого. 365 целых солнечных суток плюс 0,24219878 часть средних солнечных суток. 

2. 2)Сидерический (звездный) год, соответствующий одному обороту Солнца на небесной сфере относительно, как принято считать, неподвижных звезд. Равен 365,25636556 средних солнечных суток. 

3. 3)Аномалистический год – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через перигелий его видимой геоцентрической орбиты. Равен 365,25964134 средних солнечных суток. 

4. 4)Драконический (затменный) год, соответствующий времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через один и тот же (восходящий или нисходящий) узел орбиты Луны на эклиптике. Равен 346,620031 средних солнечных суток. 

5. 5)Год, определяемый изменением прямого восхождения среднего Солнца на 360, измеренного относительно неподвижной эклиптики. Равен 365,2551897 средних солнечных суток. 

6. 6)Календарный год состоит из:
   а) 365 суток для простых и
   б) 366 суток для високосных годов 

7. 7)Лунный год, продолжительностью в 12 лунных синодических месяцев. Равен 354,367 средних солнечных суток. 

8. 8)Юлианский год. Равен 365,25 средних солнечных суток. 

9. 9)Григорианский год. Равен 365,2425 средних солнечных суток. 

10. 10)Предлагаемый современных юлианский солнечный год. Равен 365,2422 средних солнечных суток. 

Продолжительность всех годов дана для начала 1900 года. Так для расчета всех солнечных календарей применяется только тропический год, продолжительность которого T1900 = 365 целых солнечных суток и 0,24219878 часть средних солнечных суток. Далее поступаем так, как выше советовал нам Всевышний. Для удобства расчетов и с учетом того, что такая высокая точность T1900 до восьмого десятичного знака при составлении календарей не требуется, то округляем в большую сторону до четвертого знака и получаем Tокругл. = 365,2422 суток. Это всего на 0,00000122 суток больше действительной продолжительности тропического года или на 0,1 секунды (0,00000122х24х60х60=0,105408 сек, то есть примерно 0,1 сек). Такое округление, как говорилось выше, дает ошибку в одни сутки за 819672,13 лет! Очень простая истина заключается в том, что для нас, обывателей, календарный год должен состоять из целого числа суток. Поэтому для согласования календарного года (365 суток) с тропическим годом (365,2422 суток) необходимо через определенное количество простых лет, содержащих по 365 дней, вводить високосные года по 366 дней, чтобы компенсировать накопившуюся за несколько лет ошибку. Для этого надо проделать элементарные математические расчеты, чтобы определить, как часто и в какой последовательности расставить в календаре простые и високосные годы, с таким замыслом, чтобы средняя продолжительность календарного года как можно точнее была равна длине тропического года. Итак, мы приняли продолжительность тропического года равной Tокругл. = 365,2422 средних солнечных суток. Следовательно, простой год в 365 дней, окажется короче на 0,2422 суток. Чтобы не иметь дело с дробным числом суток, надо это десятичную дробь умножить на 10000 и получим 2422 накопившихся лишних суток за период в 10000 лет. Для удобства расчетов лучше всего представить эту десятичную дробь в виде простой, что в принципе тоже самое. Итак, мы будем иметь простую дробь ${Д}_0=\frac{\text{2422}}{\text{10000}}$ или, после сокращения, ${Д}_0=\frac{\text{1211}}{\text{5000}}$. Это значит, что за 5000 лет накопится 1211 лишних суток. Опять же, для того чтобы среднюю продолжительность календарного года, как можно точнее приблизить к продолжительности тропического года, надо за период в 5000 лет ввести 1211 високосных лет по 366 дней. Всевышний подсказал нам всем, как часто и в какой последовательности в календаре длиной в 5000 лет расставить простые и високосные годы. Посмотрим теперь как решали эту задачу современные ученые астрономы, хронологи, составители календарей. Они пошли более сложным путем. Для решения поставленной задачи они представили дробь ${Д}_0=\frac{\text{1211}}{\text{5000}}$ другой дробью, у которой числитель и знаменатель меньше, чем у Д0, но сама дробь близка по своей величине к дроби Д0. Далее они воспользовались способом последовательного деления, известным в математической теории чисел еще с III века до н.э. под названием алгоритма Евклида. (Евклид – древнегреческий математик. Работал в Александрии в III веке до н.э. До нас дошел главный труд его жизни «Начала», состоящий из 15 книг, а также работы по астрономии, оптике, теории музыки. Он оказал огромное влияние на развитие математики. Мы до сих пользуемся алгоритмом Евклида, то есть способом нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или общей меры двух отрезков, а также такими понятиями как Евклидова геометрия, Евклидово пространство и др.)

Способ последовательного деления дает возможность правильную дробь представить в виде цепной или неправильной дроби. При этом числовые значения последовательно получаемых дробей называются подходящими дробями. Точные значения цепной дроби всегда находятся между двумя соседними подходящими дробями, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

1. 1)Найдем несколько последовательных подходящих дробей Д1, Д2, Д3 и т.д. Для отыскания первой подходящей дроби Д1 числитель и знаменатель дроби Д0 делим на числитель и получаем следующее: ${Д}_1=\frac{1}{\frac{\text{5000}}{\text{1211}}}=\frac{1}{4+\frac{\text{156}}{\text{1211}}}$. Если пренебречь дробью $\frac{\text{156}}{\text{1211}}$, то первая подходящая дробь Д1 будет равна $\frac{1}{4}$ $({Д}_1=\frac{1}{4}=\mathrm{0,}\text{25})$, тогда абсолютная величина годичной ошибки составит 0,25-0,24219878=0,00780122 средних солнечных суток. Ошибка в целые сутки будет накапливаться за $\frac{1}{\mathrm{0,}\text{00780122}}=\text{128},\text{18507}$. Это ошибка еще слишком велика. Но, если все же вместо принятого значения тропического года 365,2422 средних солнечных суток принять для календаря первое полученное грубое приближенное значение в 365,25 суток, то нужно в течении 3 лет считать в году по 365 суток, а в 4-ый год – 366. Такая система високоса существовала в старом юлианском календаре. Жаль, что ученые того времени и составители юлианского календаря не знали, что надо было один в 128 лет високосный год делать простым. Если бы они знали об этом и делали так, то цены такому не было бы. Он бы действовал сегодня и еще многие тысячелетия в будущем.  
2. 2)Находим следующую подходящую дробь Д2, которая должна отличать от дроби Д0=0,2422 на несколько меньшую величину. Для этого с отброшенной дробью $\frac{\text{156}}{\text{1211}}$ поступаем таким же образом, как и в первом случае, то есть делим числитель и знаменатель на числитель и получаем: ${Д}_2=\frac{1}{4+\frac{\text{156}}{\text{1211}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{\frac{\text{1211}}{\text{156}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{\text{119}}{\text{156}}}}$. и, как и в первом случае, отбрасываем дробь $\frac{\text{119}}{\text{156}}$ и находим вторую подходящую дробь Д2. ${Д}_2=\frac{1}{4+\frac{1}{7}}=\frac{1}{\frac{\text{28}+1}{7}}=\frac{7}{\text{29}}=\mathrm{0,}\text{2413793}$. Здесь абсолютная величина годичной ошибки составит 0,2413793‑0,24219878=‑0,00081948 суток. А ошибка в одни сутки будет накапливаться за $\frac{1}{\mathrm{0,}\text{00081948}}=\text{1220},\text{286}$лет. Итак, вторая подходящая дробь ${Д}_2=\frac{7}{\text{29}}$ показывает, что в течении 29 лет необходимо 7 раз вставлять високосные годы и 22 года иметь простыми. Такая система в истории календаря никогда не применялась. 
3. 3)Точно таким же образом находим еще несколько подходящих дробей и сводим полученные данные в общую таблицу. ${Д}_3=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{\text{119}}{\text{156}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{\frac{\text{156}}{\text{119}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{\text{37}}{\text{119}}}}}$ . Если пренебречь дробью $\frac{\text{37}}{\text{119}}$, то третья подходящая дробь Д3 будет равно: ${Д}_3=\frac{1}{4+\frac{1}{7+1}}=\frac{1}{4+\frac{1}{8}}=\frac{1}{\frac{\text{32}+1}{8}}=\frac{8}{\text{33}}=\mathrm{0,}\text{24242424}$. Эта подходящая дробь отличается от дроби действительной продолжительности тропического года на еще меньшую величину. 0,24242424‑0,24219878=0,00022546 , что дает ошибку в одни сутки за 4435,3765 лет. Система ${Д}_3=\frac{8}{\text{33}}$ была положена в основу персидского календаря, разработанного в XI веке Омаром Хайямом (около 1048‑около 1123 ? персидским и таджикским поэтом, математиком и философом. Он также является автором всемирно известных философских четверостиший – рубайи. В математических трудах дал изложение решений уравнений до 3-ей степени включительно). В этом календаре на каждые 33 года приходится 8 високосных лет и 25 – простых. 
4. 4)${Д}_4=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{\text{37}}{\text{119}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{\text{119}}{\text{37}}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{8}{\text{37}}}}}}$. Пренебрегаем дробью $\frac{8}{\text{37}}$ и находим значение четвертой подходящей дроби Д4. $\begin{array}{c}{Д}_4=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{\frac{3+1}{3}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{\frac{\text{28}+3}{4}}}=\\ \frac{1}{4+\frac{4}{\text{31}}}=\frac{1}{\frac{\text{124}+4}{\text{31}}}=\frac{\text{31}}{\text{128}}=\mathrm{0,}\text{2421875}\end{array}$
   Эта величина отличается от исходной дроби на 0,2421875‑0,24219878=‑0,00001128 средних солнечных суток или менее чем на одну секунду (0,00001128х24х60х60=0,974592 сек). Ошибка в одни сутки накапливается за 88652,482 года. Если за среднюю продолжительность года принять величину $\text{365}\frac{\text{31}}{\text{128}}$суток, то на каждые 128 лет придется 31 високосный год и 97 простых лет. Эта система была предложена в календарном проекте И.Г. Медлера. (Иоганн Генрих Медлер 1794‑1874 г.г. немецкий астроном. В 1840‑1865 г.г. работал в России, являясь профессором Дерптского, ныне Тартуского университета в Эстонии. Основные труды по звездной астрономии и исследовании Луны).  
5. 5)Находим пятую подходящую дробь. ${Д}_5=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{8}{\text{37}}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{\frac{\text{37}}{8}}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{5}{8}}}}}}$. Пренебрегаем дробью $\frac{5}{8}$ и находим значение пятой подходящей дроби Д5. 

$\begin{array}{c}{Д}_5=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{\text{12}+1}{4}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{4}{\text{14}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{\text{13}}{\text{17}}}}=\\ \frac{1}{4+\frac{\text{17}}{\mathrm{7x}\text{17}+\text{13}}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{4x}\text{132}+\text{17}}{\text{132}}}=\frac{\text{132}}{\text{545}}=\mathrm{0,}\text{2422018}\end{array}$

 

Эта величина отличается от исходной дроби на 0,2422018‑0,24219878=0,00000302 средних солнечных суток. Ошибка в одни сутки накапливается в этой календарной системе за 331125,82 лет. Здесь на каждые 545 лет необходимо включить 132 високосных года и 413 простых года.

1. 6)${Д}_6=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{\frac{8}{5}}}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{3}{5}}}}}}}$ 

Пренебрегаем дробью $\frac{3}{5}$ и получаем значение шестой подходящей дроби Д6 $\begin{array}{c}{Д}_6=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{5}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{1}{1+\frac{5}{\text{16}}}}}=\frac{1}{4+\frac{1}{7+\frac{\text{16}}{\text{21}}}}=\frac{1}{4+\frac{\text{21}}{\mathrm{7x}\text{21}+\text{16}}}=\\ \frac{1}{\frac{\mathrm{4x}\text{163}+\text{21}}{\text{163}}}=\frac{\text{163}}{\text{673}}=\mathrm{0,}\text{2421991}\text{средних}\text{солнечных}\text{суток}\text{.}\end{array}$

Эта величина отличается от исходной дроби на 0,2421991‑0,24219878=0,00000032 средних солнечных суток. Ошибка в одни сутки накапливается за 3125000 лет. Здесь на каждые 673 года надо вводить 163 високосных и 510 простых годов.

1. 7)
   
   Если пренебречь дробью $\frac{2}{3}$, то получим $\begin{array}{c}4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2},\text{далее}3+\frac{2}{9}=\frac{\text{29}}{9},\text{далее}1+\frac{9}{\text{29}}=\frac{\text{38}}{\text{29}},\text{далее}7+\frac{\text{29}}{\text{38}}=\frac{\text{266}+\text{29}}{\text{38}}=\\ =\frac{\text{295}}{\text{38}},\text{далее}4+\frac{\text{38}}{\text{295}}=\frac{\text{1180}+\text{38}}{\text{295}}=\frac{\text{1218}}{\text{295}}и{Д}_7=\frac{\text{295}}{\text{1218}}=\mathrm{0,}\text{2422003}\text{.}\end{array}$0,2422003‑0,24219878=0,00000152. Ошибка в одни сутки накапливается за 657894,73 года. На каждые 1218 лет надо иметь 295 високосных годов и 923 простых года.